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はじめに
フーリエ係数に至る道。
今回は奇関数の説明。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回は奇関数の説明について。
奇関数の定義
前回が偶関数だったから、それに似たような話だとは思うが、
名前からは予測がつかんな・・・。
これもWikipediaから引用しよう。
関数\(f(x)\)が奇関数であるとは、
Wikipediaより(https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%B6%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%A5%87%E9%96%A2%E6%95%B0)
\(f(-x)=-f(x)\)
が任意の\(x\)について成立することである
案の定、定義を見てもわからんな・・・。
要は、
原点(\(x,y\)共に\(0\))に対して点対称になるのが奇関数。
偶関数の時と似たような説明だが、
偶関数が線対称に対して、奇関数は点対称？？
やっぱりイメージがわかん。
奇関数の例
ならば、偶関数の時のように例を示そう。
代表的なものは以下2つ。
\(y=x^n\dots(ただしnは奇数であること)\)
\(y=\sin(x)\)
実際のグラフはこれになる。
\(y=x^5\)
\(y=\sin(x)\)
あー、なるほど。確かに点対称だ。
それに、べき乗関数の\(n\)が
偶関数の時は偶数。
奇関数の時は奇数。
になるのか。
そうそう。
そこが、偶関数、奇関数という名前がついた由来だろう。
奇関数の特性
そして、偶関数の時のように奇関数にも重要な特性がある。
偶関数の時みたいに定積分した場合の話？
そうそう。
\(x=0\)を中心として、\(-L\sim L\)の範囲で定積分をすると必ず0になる。
そうか。
さっきのグラフを見ると、点対称だから、プラス側の領域とマイナス側の領域が同じ面積になるのか。
だから、原点から同じ幅で見た場合の定積分は相殺されて0になる。
言われてみると当たり前な話だね。
その当たり前な話がいろいろ重要になってくるってことだな。
まとめ
まとめだよ。
- 奇関数について説明。
- 単純に原点に対して展対称な関数。
- この特性から-L～Lの範囲の定積分は、必ず0になる。
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