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はじめに
フーリエ係数に至る道。
今回は偶関数の説明。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回は偶関数の説明について。
偶関数の定義
で、偶関数って何？
Wikipediaから引用しよう。
関数\(f(x)\)が偶関数であるとは、
Wikipediaより(https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%B6%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%A5%87%E9%96%A2%E6%95%B0)
\(f(-x)=f(x)\)
が任意の\(x\)について成立することである。
何言ってるのかわけわからん・・・。
要は、
\(y\)軸\(x\)は\(0\)に対して線対称になるのが偶関数。
その説明を聞いても意味わからん・・・。
偶関数の例
ならば、偶関数の例を示した方が早そうだな。
代表的なものは以下2つ。
\(y=x^n\dots(ただしnは偶数であること)\)
\(y=\cos(x)\)
実際のグラフはこれになる。
\(y=x^4\)
\(y=\cos(x)\)
なるほど。
確かに\(y\)軸に対して線対称だ。
偶関数の特性
ここで偶関数に重要な特性がある。
どんな特性？
\(x=0\)を中心として\(-L\sim L\)の範囲で定積分した場合と、
\(0\sim L\)の歯に出定積分したものを2倍にした値は同一。
ほう。そんな特性があるのか。
まぁ、これは\(y\)軸に対して線対称になるところから当たり前の特性なんだけどね。
確かに、言われてみればそりゃそうだ。
当然、この特性を利用することになるから、
まずは偶関数というものがあり、線対称であり、定積分した際は片方の定積分の2倍の関係になる。
と覚えておけばOKだ。
まとめ
まとめだよ。
- 偶関数について説明。
- 単純にy軸に対して線対称な関数。
- この特性から-L～Lの範囲の定積分は、0～Lの範囲の定積分の2倍となる。
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