MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その5【フーリエ級数④】

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その5【フーリエ級数④】 数値計算
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その5【フーリエ級数④】

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はじめに

フーリエ級数に至る道。
今回はフーリエ級数について。

登場人物

博識フクロウのフクさん

指差しフクロウ

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

技術者太郎

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

【再掲】フーリエ級数へ至る道

太郎くん
太郎くん

まずは、フーリエ級数へ至る道を再掲

  • 無限級数
  • 波の合成
  • フーリエ級数
フクさん
フクさん

まずは、フーリエ級数へ至る道を再掲

フーリエ級数は波の合成を無限級数にしたもの

太郎くん
太郎くん

ついにフーリエ級数か・・・。
名前を聞いただけでアレルギーは発症しそうだ・・・。

フクさん
フクさん

フーリエ級数は、前回の波の合成と考え方は一緒だ。
そして、それを無限級数としたものだ。

太郎くん
太郎くん

なるほど。
だから、フーリエ級数の前に無限級数と波の合成の話をしたのか。

フクさん
フクさん

そうそう。

フーリエ級数

フクさん
フクさん

そして、フーリエ級数は以下で表現される。

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&\frac{a_0}{2}+a_1\cos(x)+a_2\cos(2x)+a_3\cos(3x)+\dots\\
&+&b_1\sin(x)+b_2\sin(2x)+b_2\sin(3x)+\dots
\end{eqnarray}
\)

太郎くん
太郎くん

sin関数だけじゃなくて、cos関数も合成してるのか。

フクさん
フクさん

これを一般化すると以下になる。

\(
\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))
\)

太郎くん
太郎くん

まぁ、無限級数であることから、\(\Sigma\)で表現しなおしただけだね。

a0/2は?

太郎くん
太郎くん

ちょっと気になったのだけど、
先頭の\(\displaystyle\frac{a_0}{2}\)って何?

フクさん
フクさん

バイアス、つまりオフセットだな。
波の位置が0を中心に動く保証はないから、バイアス成分を表現するためのものだ。

太郎くん
太郎くん

あ、なるほど。

太郎くん
太郎くん

でも、なんで2分の1にしてるんだ?

フクさん
フクさん

フーリエ級数だけで考えると、2分の1にする必要性はないのだが、
これは原点を中心に両サイドに広がる定積分を行う都合で2分の1にしておくと係数の算出がキレイになる。
という動機のものだな。
まぁ、キレイになる理由はいずれ説明しよう。

太郎くん
太郎くん

(何言ってるかわからん・・・。)

まとめ

フクさん
フクさん

まとめだよ。

  • フーリエ級数について説明。
  • sin関数だけでなく、cos関数も使用する。
  • a0/2はバイアスを想定した係数。
    • 2分の1は係数算出時にキレイになるため。
      • 理由は後日。

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