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はじめに
フーリエ級数に至る道。
今回はフーリエ級数について。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ級数へ至る道
まずは、フーリエ級数へ至る道を再掲
- 無限級数
- 波の合成
- フーリエ級数
まずは、フーリエ級数へ至る道を再掲
フーリエ級数は波の合成を無限級数にしたもの
ついにフーリエ級数か・・・。
名前を聞いただけでアレルギーは発症しそうだ・・・。
フーリエ級数は、前回の波の合成と考え方は一緒だ。
そして、それを無限級数としたものだ。
なるほど。
だから、フーリエ級数の前に無限級数と波の合成の話をしたのか。
そうそう。
フーリエ級数
そして、フーリエ級数は以下で表現される。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&\frac{a_0}{2}+a_1\cos(x)+a_2\cos(2x)+a_3\cos(3x)+\dots\\
&+&b_1\sin(x)+b_2\sin(2x)+b_2\sin(3x)+\dots
\end{eqnarray}
\)
sin関数だけじゃなくて、cos関数も合成してるのか。
これを一般化すると以下になる。
\(
\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))
\)
まぁ、無限級数であることから、\(\Sigma\)で表現しなおしただけだね。
a0/2は？
ちょっと気になったのだけど、
先頭の\(\displaystyle\frac{a_0}{2}\)って何？
バイアス、つまりオフセットだな。
波の位置が0を中心に動く保証はないから、バイアス成分を表現するためのものだ。
あ、なるほど。
でも、なんで2分の1にしてるんだ？
フーリエ級数だけで考えると、2分の1にする必要性はないのだが、
これは原点を中心に両サイドに広がる定積分を行う都合で2分の1にしておくと係数の算出がキレイになる。
という動機のものだな。
まぁ、キレイになる理由はいずれ説明しよう。
(何言ってるかわからん・・・。)
まとめ
まとめだよ。
- フーリエ級数について説明。
- sin関数だけでなく、cos関数も使用する。
- a0/2はバイアスを想定した係数。
- 2分の1は係数算出時にキレイになるため。
- 理由は後日。
- 2分の1は係数算出時にキレイになるため。
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