MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第4章 その29【連鎖律の前準備③】

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第4章 その29【連鎖律の前準備③】 数値計算
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第4章 その29【連鎖律の前準備③】

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はじめに

連鎖律を把握するための解説。
今回は積の微分公式について。

登場人物

博識フクロウのフクさん

指差しフクロウ

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

技術者太郎

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

【再掲】連鎖律を把握するための知識

太郎くん
太郎くん

まずは、連鎖律を把握するための知識を再掲

  • 逆数の微分公式(済)
  • 積の微分公式
  • 商の微分公式
  • シグモイド関数の導関数
  • 多変量関数の連鎖律
  • 勾配降下法
フクさん
フクさん

今回は、積の微分公式について。

積の微分公式

フクさん
フクさん

今回は積の微分公式。
これも後ほど出てくる商の微分公式に必要なものだ。

太郎くん
太郎くん

一言でいうとどんな感じ?

フクさん
フクさん

関数同士の積の微分がどう変形できるかって公式だな。
先に公式を出しておこう。

\(
\{f(x)g(x)\}\prime=g\prime(x)f(x)+f\prime(x)g(x)
\)

太郎くん
太郎くん

これも意味わからんものが意味わからんものに変形されてるだけに見えるな・・・。

フクさん
フクさん

まぁ、これもあとで使うものだからとりあえず覚えておいて。

積の微分公式の導出

フクさん
フクさん

これの導出方法はシンプルではあるが、少しトリッキーなことをする。
以下が導出過程になる。

\(
\displaystyle\{f(x)g(x)\}\prime=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}
\)

フクさん
フクさん

ここで、\(f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)\)を変形する。

\(
\begin{eqnarray}
&&f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)\\
&=&f(x+h)g(x+h){\color{red}-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)}-f(x)g(x)
\end{eqnarray}
\)

フクさん
フクさん

赤文字のところを追加したのだけど、この部分は同じものを引いてから足してるので0。
つまり、式の解としては変化しないはずのものになる。

太郎くん
太郎くん

なんかすげぇことしてんな。

フクさん
フクさん

この部分がさっき言ったトリッキーなところだな。

フクさん
フクさん

そして、これを整理する。

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle\{f(x)g(x)\}^\prime&=&\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot f(x+h)+\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x)\\
&=&g\prime(x)f(x)+f\prime(x)g(x)
\end{eqnarray}
\)

フクさん
フクさん

と言う感じで積の微分公式が求まる。

まとめ

フクさん
フクさん

まとめだよ。

  • 積の微分公式を導出。
  • 少しトリッキーなことをする。
    • f(x)の極限と、g(x)の極限に分けられるような細工。

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