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はじめに
正規方程式を用いた、多項式回帰分析について。
今回は、MATLABで演算してみる。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
正規方程式、各パラメータ、推定対象の多項式再掲
多項式回帰分析をMATLABでやるってことろかな。
正規方程式と2次方程式の多項式回帰分析で想定するパラメータの再掲だ。
正規方程式
\(
x=(A^TA)^{-1}A^Tb
\)
多項式回帰分析に於ける各パラメータ
\(
A=
\begin{bmatrix}
x_1^2 & x_1 & 1\\
x_2^2 & x_2 & 1\\
\vdots & \vdots & \vdots\\
x_n^2 & x_n & 1\\
\end{bmatrix},
\vec{x}=
\begin{bmatrix}
\alpha\\
\beta\\
\gamma
\end{bmatrix},
\vec{b}=
\begin{bmatrix}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_n
\end{bmatrix}
\)
推定対象の多項式
\(
z=4x^2-5y+2
\)
MATLABコード
MATALBコードは以下になる。
n = 100;
x = rand(1, n);
y = 4*x.^2-5*x+2+rand(1, n)-0.5;
A=[x'.^2 x' ones(length(x),1)];
b=y';
X=(A'*A)^-1 *A'*b;
disp(X);
plot(x, y ,'+');
hold on
xp=linspace(0, 1, 100);
yp=linspace(0, 1, 100);
plot( xp, X(1)*xp.^2+X(2)*xp+X(3), 'r','LineWidth',3);
hold off処理結果
処理結果は以下。
4.3826
-5.5632
2.1247考察
散ったデータに対して、2次関数がいい感じに真ん中をぶち抜いてるね。
係数も誤差は出てるけど、おおよそ狙い通りでOKなのかな？
まぁ、このくらいの誤差にはなるだろう。
今回は3Dグラフじゃないから、グラフ表示としては特殊なものはないかな。
まとめ
まとめだよ。
- 正規方程式による多項式回帰分析をMATLABで実施。
- 誤差はあるものの目的の係数の算出はできている。
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