MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第2章 その39【二次形式の微分③】

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はじめに
登場人物
ロードマップ【再掲】
∇による偏導関数
普通に手計算
まとめ

はじめに

正規方程式を導出するまでの説明。
今回は二次形式の微分(勾配)を実際の多項式に適用してみる。

登場人物

博識フクロウのフクさん

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

ロードマップ【再掲】

太郎くん

まずはロードマップの再掲で現在位置の確認。
二次形式の微分のところだね。

正規方程式に至る道、二次形式、対称行列、二次形式の微分、グラム行列、二乗和誤差、正規方程式

フクさん

今回は、具体的な多項式に対して、二次形式の微分を求める。
使用する多項式は以下としよう。

$f (x, y) = 3 x^{2} + 2 y^{2} + 5 x y$

∇による偏導関数

フクさん

まずは $\nabla$ による偏導関数。

$\nabla f (x, y) = [\begin{matrix} \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} \\ \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 x + 5 y \\ 5 x + 4 y \end{matrix}]$

フクさん

上記を元に以下が成立すればOK

$2 A X = [\begin{matrix} 6 x + 5 y \\ 5 x + 4 y \end{matrix}]$

普通に手計算

太郎くん

あとは、これを各ツール、各言語で確認するって感じか。

フクさん

そうだね。
と言っても、実は手計算でも確認できちゃうけどね。

$A = [\begin{matrix} 3 & 5 / 2 \\ 5 / 2 & 2 \end{matrix}]$
$2 A X = 2 [\begin{matrix} 3 & 5 / 2 \\ 5 / 2 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 x + 5 y \\ 5 x + 4 y \end{matrix}]$