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はじめに
平均、分散、共分散を用いた1次関数最小二乗法の係数算出について。
今回は、分散の定義及び変形式の確認する。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
分散の定義
次は分散。
定義は以下になる。
\(
\displaystyle \sigma_x^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2
\)
分散は\(\sigma_x^2\)みたいな書き方をするのか。
そうそう。
分散の平方根である標準偏差を\(\sigma_x\)として示すんで、
分散の方は標準偏差から見たら2乗されたものとして\(\sigma_x^2\)
ってことだな。
分散の式の変形
そして、これも変形する。
変形式の方が重要で、あとで使う。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sigma_x^2 &=& \frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2 \\
\displaystyle &=& \frac{1}{n}\sum(x_i^2-2x_i \bar{x}+(\bar{x})^2) \\
\displaystyle &=& \frac{1}{n}\sum x_i^2 + \frac{2\bar{x}}{n}\sum x_i + \frac{(\bar{x})^2}{n}\sum 1\\
\displaystyle &=& \bar{x_i^2}-2\bar{x}\bar{x}+\frac{n}{n}(\bar{x})^2\\
&=&\bar{x_i^2}-2(\bar{x})^2+(\bar{x})^2\\
&=&\bar{x_i^2}-(\bar{x})^2
\end{eqnarray}
\)
いろいろごちゃごちゃやってる割には
最終的にはシンプルになるんだね。
まぁ\(\displaystyle \sum\)が居ても、同じように展開できるのと
各項の総和に書き直しても分配が成立できるというのがポイントだな。
でも、この分配ができるってのがイメージできない・・・。
Excelの表をイメージすると分かると思うけど。
表全体を一気に合計するのと、
1列ずつ合計したものに対して合計したもの。
結果が異なるか？
あー、確かに一緒か！
そう考えると自然な変形ってことになるのか。
そうそう。
まとめ
まとめだよ。
- 分散の定義及び変形式の確認。
- 複雑な変形を経た上でシンプルな変形式になる。
- 展開のルールと、分配のルールが使える。
- Excelの表をイメージすると分かりやすいかも？
- 展開のルールと、分配のルールが使える。
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