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MATLAB,Python,Scilab,Julia比較その46【状態空間モデル④】

数値計算

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較その46【状態空間モデル④】

2022.09.16

バックナンバーはこちら。
https://www.simulationroom999.com/blog/compare-matlabpythonscilabjulia-backnumber/

目次

はじめに
登場人物
状態量の定義
運動方程式を紐解いていく
各種方程式を見て
まとめ

はじめに

前回は、状態空間モデルを理解するために
超シンプルな微分方程式を対象にしてみようという話になった。
具体的にはニュートンの運動方程式。
入力は力 $F$ で出力(観測)は距離 $s$ とする。

この情報を元に状態空間モデルを作る過程を見て行く。

登場人物

博識フクロウのフクさん

指差しフクロウ

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

技術者太郎

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

状態量の定義

フクさん

フクさん

入力と出力は決まっているので、
状態量 $x$ を定義する必要がある。

太郎くん

太郎くん

つまり、外から見えない変数？

フクさん

フクさん

まぁそうだけど、外から見える変数、つまり出力も状態量に含める必要はあるかな。

太郎くん

太郎くん

といっても、運動方程式の変数と言われても、
力 $F$ 、距離 $s$ 、速度 $v$ 、加速度 $a$ 、質量 $m$ くらいしか思いつかないな・・・。

フクさん

フクさん

ちなみに質量 $m$ は今回は変数ではなく係数という位置づけになるな。
先に答え言っちゃうと距離 $s$ 、速度 $v$ を状態量とすると都合が良さそうだ。
というわけで状態量 $x$ は以下と定義できる。

状態量

$x = [\begin{matrix} v (t) \\ s (t) \end{matrix}]$

太郎くん

太郎くん

ようわからんけど、そういう定義が都合が良いなら、まずは傍観しとこう。

フクさん

フクさん

そして、これに伴って状態方程式の解である、 $\dot{x}$ は以下になる。

$\dot{x} = [\begin{matrix} \dot{v} (t) \\ \dot{s} (t) \end{matrix}]$

太郎くん

太郎くん

そうか。状態方程式の解は $x$ の一階微分になるのか。

運動方程式を紐解いていく

フクさん

フクさん

ここから運動方程式を紐解いていく。

運動方程式
$m \ddot{s} (t) = F (t)$

距離 $s (t)$ 、速度 $v (t)$ 、加速度 $a (t)$ の関係
$\ddot{s} (t) = \dot{v} (t) = a (t)$
$\dot{s} (t) = v (t)$

上記より
$\begin{array}{rcl} m \dot{v} (t) & = & F (t) \\ \dot{v} (t) & = & \frac{F (t)}{m} \dots (1) \\ \dot{s} (t) & = & v (t) \dots (2) \end{array}$

各種方程式を見て

フクさん

フクさん

ここまでは良い？

太郎くん

太郎くん

微分は出てくるけど、そこは距離、速度、加速度の関係性で吸収されちゃうから
あまり気にしなくてもOKそうで、
あとは普通に移項して、 $\dot{x}$ の中身である、
$\dot{v} (t)$ と $\dot{s} (t)$ が求められる方程式が出てきた。
って認識。

フクさん

フクさん

いいね。
まずはそこまで分かっていれば、これを状態空間モデルとして組み上げるのみだ。

まとめ

フクさん

フクさん

まとめだよ。

まずは状態量を定義。
- 速度、距離を状態量とした。
運動方程式を紐解く。
- 距離、速度、加速度の関係性が微分を吸収する。
- 状態量の内訳である速度、距離の方程式が求まったところ。

バックナンバーはこちら。

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