KEI

複素フーリエ級数を導出した。最終的にはシンブルな式に。実際に利用しようと思うと、複素フーリエ係数とセットなので、しばらく待ち。

前回のフーリエ級数を複素指数関数で表現した式を変形。変数の極性を入れ替えた上で、Σの極性を入れかえれば同じものとなる。フーリエ係数であることを前提とした場合、極性の特性を定められる。

実数フーリエ級数にsin,cosを福祉指数関数で表現する公式を代入。ここでも「虚数で割ることが負の虚数を掛けることが同一」って理屈を使う。複素フーリエ級数導出までもう一歩。

「虚数で割ることと負の虚数を掛けることが同一」である。上記を証明。これは、複素フーリエ級数を導出するときにも使用するから覚えておいた方が良い。

オイラーの公式とそれの変形の式を元にcos関数、sin関数を複素指数関数で表現するため、連立方程式を解いた。連立方程式は行列を使うと一撃。

実数フーリエ級数を複素フーリエ級数にするためにオイラーの公式を利用する。具体的にはcos関数、sin関数を複素指数関数で表現する。上記を実数フーリエ級数に代入すれば複素フーリエ級数になるというのが大雑把な流れ。

オイラーの公式の話に突入。各種マクローリン展開を再掲。指数関数のマクローリン展開に複素数を入れてみる。複素指数関数のマクローリン展開を変形。オイラーの公式の変形。

複素指数関数のマクローリン展開を変形。cos関数とsin関数のマクローリン展開の式が出てくる。実数部をcos、虚数部をsinとするとオイラーの公式になる。オイラーの公式の変形。入力に負の符号をつけたもの。今後いろいろ活躍してくれる公式になる。

各種マクローリン展開を再掲。指数関数、cos関数、sin関数。指数関数のマクローリン展開に複素数を入れてみる。xをixにするだけ。