【FFTへ】MATLAB、Pythonで株価予測 その14【至る道⑫】

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はじめに
登場人物
異なる回転因子を混ぜる
中間変数を置いてみる。
まとめ

はじめに

前回は回転因子を行列表現し、
回転因子であるが故の各種最適化を実施。
これだけでも便利な概念ではある。

今回は、これをバタフライ演算に繋げるべくさらに最適化していく。

登場人物

博識フクロウのフクさん

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

異なる回転因子を混ぜる

フクさん

前回は回転因子が円状にあることを利用して最適化をしたが、
ここに対して異なるNの回転因子を混ぜることが可能だ。

太郎くん

異なるNの回転因子？

フクさん

前回は\(N=4\)をベースにした回転因子だったが、
この中の\(n=0,2\)って
\(N=2\)に於ける\(n=0,1,\)と同じ値になるんだよね。

太郎くん

あ、そっか。
言われてみれば回転因子としては同じ位置になるね。

フクさん

よって、以下に表現し直せる。

\(f_n\)の並びが変わっているところに注意だ。

\(
\begin{bmatrix}
F_0 \\
F_1 \\
F_2 \\
F_3 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
W_2^0 & W_2^0 & W_4^0W_2^0 & W_4^0W_2^0 \\
W_2^0 & W_2^1 & W_4^1W_2^0 & W_4^1W_2^1 \\
W_2^0 & W_2^1 & W_4^2W_2^0 & W_4^2W_2^0 \\
W_2^0 & W_2^1 & W_4^3W_2^0 & W_4^3W_2^1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
f_0 \\
f_2 \\
f_1 \\
f_3 \\
\end{bmatrix}
\)

太郎くん

なんか余計ややこしくなったようにも見えるが・・・。
良く見ると、なんかルールはありそうにも見える・・・。

フクさん

左上の2×2の行列だけを抜き出してみよう。

\begin{bmatrix}
W_2^0 & W_2^0 \\
W_2^0 & W_2^1 \\
\end{bmatrix}

太郎くん

あ！他の右上、左下、右下にも同じ並びがあるね。

フクさん

これをいい感じに整理したのがこれだ

\(
\begin{bmatrix}
F_0 \\
F_1 \\
F_2 \\
F_3 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & W_4^0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & W_4^1 \\
1 & 0 & W_4^2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & W_4^3 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
W_2^0 & W_2^0 & 0 & 0 \\
W_2^0 & W_2^1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & W_2^0 & W_2^0 \\
0 & 0 & W_2^0 & W_2^1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
f_0 \\
f_2 \\
f_1 \\
f_3 \\
\end{bmatrix}
\)

中間変数を置いてみる。

太郎くん

キレイに整理されていくように見える反面、
行列が分離した魔境臭もしてきたぞ・・・。

フクさん

行列が分離するということは演算もキレイに分離できるってことだ。
つまり、中間変数\(G_n\)を挟んで2段階に分けて計算すると以下になる。

\(
\begin{bmatrix}
G_0 \\
G_1 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
W_2^0 & W_2^0 \\
W_2^0 & W_2^1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
f_0 \\
f_2 \\
\end{bmatrix}
\)

\(
\begin{bmatrix}
G_2 \\
G_3 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
W_2^0 & W_2^0 \\
W_2^0 & W_2^1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
f_1 \\
f_3 \\
\end{bmatrix}
\)

\(
\begin{bmatrix}
F_0 \\
F_1 \\
F_2 \\
F_3 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & W_4^0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & W_4^1 \\
1 & 0 & W_4^2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & W_4^3 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
G_0 \\
G_1 \\
G_2 \\
G_3 \\
\end{bmatrix}
\)

フクさん

そして、\(W_4^2=-W_4^2\)、\(W_4^3=-W_4^1\)なので、

\(
\begin{bmatrix}
F_0 \\
F_1 \\
F_2 \\
F_3 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & W_4^0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & W_4^1 \\
1 & 0 & -W_4^0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -W_4^1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
G_0 \\
G_1 \\
G_2 \\
G_3 \\
\end{bmatrix}
\)