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はじめに
前回はフーリエ変換とフーリエ逆変換の角周波数表現と周波数表現によるバリエーションについて説明。
元の数式が角周波数表現で、単純に角周波数に周波数を代入したものが周波数表現となる。
今回は、もう一つのバリエーションの数式対称性について。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
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フーリエ変換とフーリエ逆変換の数式対称性
今回はフーリエ変換とフーリエ逆変換のバリエーションの話の続きで、
「数式対称性」のバリエーションになるんだっけ？
そうそう。
さっそくバリエーションを見て居よう。
ちなみに、角周波数、周波数のバリエーションに於いての角周波数側の表現でそろえている。
■ バリエーション1
フーリエ変換
\(\displaystyle F(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt \)
逆フーリエ変換
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}F(\omega)e^{i\omega x}d\omega \)
■ バリエーション2
フーリエ変換
\(\displaystyle F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt \)
逆フーリエ変換
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}F(\omega)e^{i\omega x}d\omega \)
■ バリエーション3
フーリエ変換
\(\displaystyle F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt \)
逆フーリエ変換
\(\displaystyle f(x)=\int^{\infty}_{-\infty}F(\omega)e^{i\omega x}d\omega \)
数式対称性バリエーションを見て
どれも似た感じだけど、
\(\displaystyle \frac{1}{2\pi}\)
をどっちが担当するかって感じなのかな？？？
折半する場合は\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\)になってるっぽいけど。
その認識でOKだ。
実際にはもっと複雑な理由があるようだが、そこは私にもわからん。
重要なのは、それぞれのバリエーションで対になってるフーリエ変換と逆フーリエ変換を使用しなければならないってところだ。
あ、そっか。
角周波数表現のフーリエ変換を周波数表現の逆フーリエ変換したら、絶対元に戻らないし、
今回の対称性のバリエーションも食い違うと絶対に元に戻らない！
まぁ同一の環境下だとそんなことは起こり得ないんだけど、
とある計測器やツールでフーリエ変換した情報を、別の異なるツールで逆フーリエ変換する際は問題になり易いね。
確かにMATLAB環境下で閉じてる話であれば、気にしなくてもOKな話だとは思うけど、
テストベンチで取ってきた周波数情報だと、そのままMATLAB使って逆変換しても想定したものにはならないってことか。
実際には事前に自明な波形で試して、ちゃんと戻るかを試す。
それによって、異なるバリエーションで逆変換をする事故を抑制するようにしているところは多いみたいだ。
当然、どの式を使用しているかを仕様上での確認もするけどね。
なるほど。
先に確認しておけばOKなのか。
確かに重要だ。
と言うわけで、フーリエ変換、逆フーリエ変換のざっくりした話は終わりだ。
(まだDFTとFFTが残ってるのか・・・。)
まとめ
まとめだよ。
- フーリエ変換とフーリエ逆変換のもう一つのバリエーションである、数式対称性について。
- 3パターンある。
- 1/2πをどちらが持つかって違い。
- 1/√2πのように折半するパターンもある。
- 3パターンある。
- バリエーションを認識していないと異なるバリエーションの変換/逆変換の組み合わせを使用してしまい、元の波形に戻らない事故が発生する。
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