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はじめに
前回は各種フーリエの関係性について説明。
そこからフーリエ変換より先に逆フーリエ変換を求める方が先となる。
実際にはフーリエの積分公式を求めることとなる。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】複素フーリエ級数、複素フーリエ係数
とりあえず、フーリエの積分公式と呼ばれるものを求めることになるのだけど、
どうすればいいんだ？
\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \Big\{\frac{1}{2L}\int_{-L}^Lf(t)^{-i\frac{n\pi t}{L}}\,dt \Big\}e^{i\frac{n\pi x}{L}}
\)
しかし、いつ見てもヤベェ式だな・・・。
角周波数へ
ここで、\(n\)を角周波数\(\omega\)に変更する。
角周波数？
\(n\)の段階では、周期\(2L\)に於ける波の数って感じだったのだけど、
これを1周期を\(2\pi\)中の波の数にする感じだな。
変換の式は簡単で、以下になる。
\(
\displaystyle \omega_n=n\frac{2\pi}{2L}=\frac{n\pi}{L}
\)
\(2L\)だったものを\(2\pi\)として読み替えるわけだから、こういう式にはなるのか。
これにより\(\displaystyle\frac{n\pi}{L}\)を\(\omega_n\)に置き換えられる。
\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \Big\{\frac{1}{2L}\int_{-L}^Lf(t)^{-i\omega_n t} \,dt\Big\}e^{i\omega_n x}
\)
ちょっぴりシンプルになったかな。
まとめ
まとめだよ。
- 周期2Lの波の数を示すnを周期2πに於ける波の数である角周波数ωに変換。
- ω=nπ/Lを使用して変換するだけ。
- これにより少し数式がシンプルになった。
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