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はじめに
前回は各種フーリエの関係性について説明。
そこからフーリエ変換より先に逆フーリエ変換を求める方が先となる。
実際にはフーリエの積分公式を求めることとなる。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】複素フーリエ級数、複素フーリエ係数
とりあえず、フーリエの積分公式と呼ばれるものを求めることになるのだけど、
どうすればいいんだ？
ベースとなるのは複素フーリエ級数と複素フーリエ係数。
これらを再掲しよう。
複素フーリエ級数
\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n^{i\frac{n\pi x}{L}}
\)
複素フーリエ係数
\(
\displaystyle C_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(x)e^{-i\frac{n\pi x}{L}}\,dx
\)
係数から変換の概念へ
ここで複素フーリエ係数の方が、係数算出から変換の概念に変える。
やることは\(f(x)\)と表現している部分を\(f(t)\)と表現しなおすだけだな。
これにより、\(f(x)\)を\(f(t)\)に変換するという考え方に変わる。
\(
\displaystyle C_n=\frac{1}{2L}\int_{-L}^L f(t)e^{-i\frac{n\pi t}{L}}\,dt
\)
この式を複素フーリエ級数に代入する。
\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \Big\{\frac{1}{2L}\int_{-L}^Lf(t)^{-i\frac{n\pi t}{L}}\,dt \Big\}e^{i\frac{n\pi x}{L}}
\)
なんかヤベェ感じになってきたぞ・・・。
ポイントとしては、
\(f(t)\)から\(f(x)\)の変換の式である。
という点と
\(f(t)\)と\(f(x)\)は同じものである。
ということろ。
どういうこと？？？
複素指数関数との積を取った上で積分とか総和とかするとなぜか元の関数に戻る
ってことだな。
元にもどるのか！
これが変換と逆変換の片鱗ということになるな。
まとめ
まとめだよ。
- フーリエに積分公式は複素フーリエ級数と複素フーリエ係数から導出する。
- 変換を想定した式に変換。
- 複素指数関数との積と積分、総和を経由すると元に関数に戻るというイメージが重要。
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