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はじめに
複素フーリエ係数のシリーズ。
今回は、複素指数関数の直交性をプログラムで確認できるかの検討。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
複素フーリエ係数
まずは複素フーリエ係数に至る道を再掲。
- 複素指数関数の積
- 複素指数関数が直交していない状態
- 複素指数関数が直交している状態
- 複素指数関数の直交性の確認
- 複素フーリエ係数の導出
今回は、複素指数関数の直交性をプログラムで確認できるかの検討。
複素指数関数の直交性
前回までの式をまとめると以下になる。
\(
\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(m-n)x}dx=
\begin{cases}
2\pi & (n =m) \\
0 & (n \neq m)
\end{cases}
\)
nとmが等しい時は\(2\pi\)、異なる時は\(0\)だから、
実数フーリエ係数の時と同じで、
狙った角周波数の抽出可能な状態は作れるってことか。
そうそう。
複素指数関数の直交性をアニメーションで
実数フーリエ係数の時もやったと思うが、
直交性をアニメーションで見てみよう。
そうか。
複素数だから、実数部と虚数部があるのか。
畳み込み積分をすると、等しい時は\(0\)、それ以外は\(2\pi\)になってるのがわかるってことか。
若干誤差は出ているが、まぁおおよそ狙った挙動はしているな。
プログラムで確認
複素指数関数の直交性をプログラムで確認してみよう。
実数フーリエ係数の時も似たようなことしたね。
ノリは全く一緒だな。
以下の式についてそれぞれ確認する。
\(
\begin{eqnarray}
e^{ix}\cdot e^{-ix}&=&6.28319\\
e^{ix}\cdot e^{-i2x}&=&0.00000\\
e^{i2x}\cdot e^{-i2x}&=&6.28319\\
e^{i3x}\cdot e^{-i2x}&=&0.00000
\end{eqnarray}
\)
等しい時と異なる時を確認って感じだね。
まぁ、問題が出ることはないと思うが
各ツール、各言語で確認だ。
まとめ
まとめだよ。
- 複素指数関数の直交性を評価できる式を確認。
- 直交性をアニメーションgifで見てみた。
- この直交性を各ツール、各言語で確認してみる。
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