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はじめに
今回から複素フーリエ係数のシリーズに突入。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
複素フーリエ係数
前回で、複素フーリエ級数が導出できたから、
今回から複素フーリエ係数の方になるのかな。
そうだね。
まぁ、アプローチの仕方としては実数フーリエ係数と似た感じだな。
直交性を評価して、該当する角周波数の係数を特定だ。
該当しない角周波数の場合は、直交するから0になるって理屈だったね。
複素フーリエ係数に至る道
一応、説明の手順を書いておこう。
- 複素指数関数の積
- 複素指数関数が直交していない状態
- 複素指数関数が直交している状態
- 複素指数関数の直交性の確認
- 複素フーリエ係数の導出
複素指数関数だらけだな・・・。
まぁ、複素指数関数の特性を把握して利用する感じだな。
複素指数関数の積
まずは複素指数関数の積について。
積ってことは掛け算だよね？
そうそう。
まぁ、今回やることは複素指数関数に限らず指数関数の特定なんだけどね。
まず、\(e^{imx}\)と\(e^{-imx}\)の積を考えると以下になる。
\(
e^{imx}e^{-inx}=e^{m-n}x
\)
指数部同士を加算するってこと？
そうそう。
実際の数値で見ると分かると思う。
\(
\begin{eqnarray}
2^5\times2^{-2}&=&2^{5-2}=2^3=8\\\\
2^5&=&32\\
\displaystyle 2^{-2}&=&\frac{1}{4}\\
\displaystyle \frac{32}{4}&=&8
\end{eqnarray}
\)
なるほど。
確かに等しくなるね。
これを利用して直交性を見ていくことになる。
まとめ
まとめだよ。
- 複素フーリエ係数の話に突入。
- 複素フーリエ係数に至る道を提示。
- 複素指数関数の積を確認。
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