【入門】複素フーリエ級数④【数値計算】

• テイラー級数
• マクローリン級数
• 指数関数のマクローリン展開
• cos(x)のマクローリン展開
• sin(x)のマクローリン展開
• オイラーの公式
• 複素フーリエ級数

• オイラーの公式とそれの変形の式を元にcos関数、sin関数を複素指数関数で表現する。
• 実数フーリエ級数のcos関数、sin関数に上記を代入する。
• 代入した上で頑張って最適化する。
• Σの下限を\(-\infty\)、上限を\(\infty\)にする。

\(
\displaystyle \sum_{n=1}^\infty e^{-inx}=\displaystyle \sum_{n=-1}^{-\infty} e^{inx}
\)

\(
\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n+i b_n}{2}=\displaystyle \sum_{n=-1}^{-\infty} \frac{a_n-i b_n}{2}
\)

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty e^{inx}\frac{a_n-ib_n}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} e^{-inx}\frac{a_n+ib_n}{2}\\
&=&\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty e^{inx}\frac{a_n-ib_n}{2}+\sum_{n=-1}^{-\infty} e^{inx}\frac{a_n-ib_n}{2}\\
&=&\frac{a_0}{2}+\sum_{n=-\infty}e^{inx}\frac{a_n-ib_n}{2}\\
※ \frac{a_0}{2}&=&e^{i0x}\frac{a_0-i0}{2}と見なせる。\\
&=&\sum_{-\infty}^{\infty} e^{inx}\frac{a_n-ib_n}{2}\dots({\rm{if}} \,n=0\dots b_n=0)
\end{eqnarray}
\)

\(
\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{inx}
\)