【入門】複素フーリエ級数③【数値計算】

• テイラー級数
• マクローリン級数
• 指数関数のマクローリン展開
• cos(x)のマクローリン展開
• sin(x)のマクローリン展開
• オイラーの公式
• 複素フーリエ級数

• オイラーの公式とそれの変形の式を元にcos関数、sin関数を複素指数関数で表現する。
• 実数フーリエ級数のcos関数、sin関数に上記を代入する。
• 代入した上で頑張って最適化する。
• Σの下限を\(-\infty\)、上限を\(\infty\)にする。

\(
\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\{a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\}
\)

\(
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
\displaystyle\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \\
\displaystyle\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \\
\end{cases}
\end{eqnarray}
\)

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle
f(x) &=& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) \\
&=& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2} + b_n \frac{e^{inx} – e^{-inx}}{2i}\right) \dots(単純に代入)\\
&=& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{a_n e^{inx}}{2} + \frac{a_n e^{-inx}}{2}+\frac{b_n e^{inx}}{2i}-\frac{b_n e^{-inx}}{2i}\right)\\
&=& \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{a_n e^{inx}}{2} + \frac{a_n e^{-inx}}{2}-b_n\frac{e^{inx}}{2}+\frac{b_n e^{-inx}}{2i}\right)\dots(iで割ることは-iを掛けること)\\
&=&\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty e^{inx}\frac{a_n-i b_n}{2}+\sum_{n=1}^\infty e^{-inx}\frac{a_n+i b_n}{2}
\end{eqnarray}
\)

\(
\displaystyle \sum_{n=1}^\infty e^{-inx}
\)

\(
\displaystyle \sum_{n=1}^\infty e^{-inx}=\displaystyle \sum_{n=-1}^{-\infty} e^{inx}
\)

\(
\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n+i b_n}{2}=\displaystyle \sum_{n=-1}^{-\infty} \frac{a_n-i b_n}{2}
\)