MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その70【複素フーリエ級数②】

• テイラー級数
• マクローリン級数
• 指数関数のマクローリン展開
• cos(x)のマクローリン展開
• sin(x)のマクローリン展開
• オイラーの公式
• 複素フーリエ級数

• オイラーの公式とそれの変形の式を元にcos関数、sin関数を複素指数関数で表現する。
• 実数フーリエ級数のcos関数、sin関数に上記を代入する。
• 代入した上で頑張って最適化する。
• Σの下限を$-\mathrm{\infty }$、上限を$\mathrm{\infty }$にする。

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$

$e^{-ix}=\cos (x)-i\sin (x)$

$\begin{array}{rcl}\left[\begin{array}{c}{e}^{ix}\\ e^{-ix}\end{array}\right]& =& \left[\begin{array}{cc}1& i\\ 1& -i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\cos (x)\\ \sin (x)\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}\cos (x)\\ \sin (x)\end{array}\right]& =& {\left[\begin{array}{cc}1& i\\ 1& -i\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{e}^{ix}\\ e^{-ix}\end{array}\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{1(-i)-1i}\left[\begin{array}{cc}-i& -i\\ -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}^{ix}\\ e^{-ix}\end{array}\right]}\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{-2i}\left[\begin{array}{cc}-i& -i\\ -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}^{ix}\\ e^{-ix}\end{array}\right]}\\ & =& \left[\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2i}}& {\displaystyle –\frac{1}{2i}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}^{ix}\\ e^{-ix}\end{array}\right]\end{array}$

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\displaystyle \cos (x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\\ {\displaystyle \sin (x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\end{array}\end{array}$