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はじめに
前回でオイラーの公式の導出の話が終わったところ。
今回から、複素フーリエ級数に向けての話になる。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】複素フーリエ級数に至る道
まずは複素フーリエ級数に至る道を再掲。
- テイラー級数
- マクローリン級数
- 指数関数のマクローリン展開
- cos(x)のマクローリン展開
- sin(x)のマクローリン展開
- オイラーの公式
- 複素フーリエ級数
今回から、複素フーリエ級数に向けての話になる。
cos関数、sin関数を複素指数関数で表現する
話の流れとしては、オイラーの公式を利用して、
複素フーリエ級数を導出するとかって感じだと思うけど、
全然イメージがわかないな・・・。
オイラーの公式を再掲しよう
\(
e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)
\)
つまり、指数関数と三角関数の相互変換が可能であることを示している。
具体的なところはわからんけど、
それを利用して、cos関数、sin関数を複素指数関数で表現。
そして、そのcos関数、sin関数を使用している実数フーリエ級数に代入って感じか。
正解。
おおよその流れとしてはその認識でOKだ。
オイラーの公式から複素フーリエ級数までのステップ
先にオイラーの公式から複素フーリエ級数までのステップを示しておこう。
- オイラーの公式とそれの変形の式を元にcos関数、sin関数を複素指数関数で表現する。
- 実数フーリエ級数のcos関数、sin関数に上記を代入する。
- 代入した上で頑張って最適化する。
- Σの下限を\(-\infty\)、上限を\(\infty\)にする。
上二つは、なんとなくわかるが、
下二つの魔境臭が半端ない・・・。
確かに下2つは少しトリッキーな感じはするな。
虚数で割ることをどう解釈できるか、
Σと中の関数の符号を反転とか出てくるな。
(わけわかんねぇ・・・。)
まとめ
まとめだよ。
- 実数フーリエ級数を複素フーリエ級数にするためにオイラーの公式を利用する。
- 具体的にはcos関数、sin関数を複素指数関数で表現する。
- 上記を実数フーリエ級数に代入すれば複素フーリエ級数になるというのが大雑把な流れ。
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