MATLAB、Python、Scilab、Julia比較ページはこちら
https://www.simulationroom999.com/blog/comparison-of-matlab-python-scilab/
はじめに
の、
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その66【オイラーの公式①】
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その67【オイラーの公式②】
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その68【オイラーの公式③】
を書き直したもの。
マクローリン展開のおおよその説明とプログラムによる確認をしたところ。
今回からオイラーの公式に突入する。
具体的には以下を実施。
- 各種マクローリン展開の復習
- 指数関数へ複素数を入れた場合のマクローリン展開。
- 複素指数関数の変形でオイラーの公式を導出。
【再掲】複素フーリエ級数に至る道
まずは複素フーリエ級数に至る道を再掲。
- テイラー級数
- マクローリン級数
- 指数関数のマクローリン展開
- cos(x)のマクローリン展開
- sin(x)のマクローリン展開
- オイラーの公式
- 複素フーリエ級数
今回からオイラーの公式に突入。
オイラーの公式は意味不明？
いきなりオイラーの公式と言われても魔境臭しか感じないかもしれない。
便利な公式ではある。
ぱっと見意味不明なだけで。
この意味不明さを解消するために前回まででマクロリーン展開をやったことになる。
オイラーの公式
まずオイラーの公式を見てみる。
\(
e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)
\)
なんか、指数関数ではあるが、変数として複素数が入ってる。
複素数ではあるのだけど、
それが、cos関数、sin関数に分解できる、便利な公式ともとれる。
その便利さがイマイチ伝わって来ないわけだが、
これは、複素フーリエ以降で実感すると思う。
とくに実数フーリエから複素フーリエへの橋渡しで大活躍。
オイラーの公式の証明手順
ここでオイラーの公式の証明手順を示しておく。
- 指数関数のマクローリン展開
- cos(x)のマクローリン展開
- sin(x)のマクローリン展開
- 複素指数関数のマクローリン展開を変形し、cos(x)とsin(x)のマクローリン展開を代入する。
実は、上3つはすでにやってある。
よって、あとは、その3つを組み合わせればOKという状態まで来ている。
ということで、あと一歩ってところにいる。
次のページへ
次のページでは各種マクローリン展開の復習と複素数を入れた場合の話。
コメント