【入門】マクローリン展開③【数値計算】

• テイラー級数
• マクローリン級数
• 指数関数のマクローリン展開
• cos(x)のマクローリン展開
• sin(x)のマクローリン展開
• オイラーの公式
• 複素フーリエ級数

\(
\begin{eqnarray}
f(x)&=&\cos(x)\\
f^{\prime}(x)&=&-\sin(x)\\
f^{\prime\prime}(x)&=&-\cos(x)\\
f^{\prime\prime\prime}(x)&=&\sin(x)\\
f^{\prime\prime\prime\prime}(x)&=&\cos(x)\dots4階微分で\cos(x)に戻る\\
\end{eqnarray}
\)

\(
f(x)^n=\cases{
\cos(x)\dots(n=0,4,8,\dots)\\
-\sin(x)\dots(n=1,5,9,\dots)\\
-\cos(x)\dots(n=2,6,10,\dots)\\
\sin(x)\dots(n=3,7,11,\dots)\\
}
\)

\(
f(0)^n=\cases{
\cos(0)=1\dots(n=0,4,8,\dots)\\
-\sin(0)=0\dots(n=1,5,9,\dots)\\
-\cos(0)-1\dots(n=2,6,10,\dots)\\
\sin(0)=0\dots(n=3,7,11,\dots)\\
}
\)

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)&=&f(0)+\frac{f^\prime(0)}{1!}x+\frac{f^\prime\prime(0)}{2!}x^2+\dots\\
\displaystyle &=&f(0)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^n(0)}{n!}x^n\\
\displaystyle \cos(x)&=&1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\dots\\
\displaystyle &=& \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}
\end{eqnarray}
\)