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はじめに
前回まででフーリエ係数を求めることを試した。
が、現状のフーリエ級数、フーリエ係数にはとある制約が掛かっている・・・。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
現状のフーリエ級数、フーリエ係数にはとある制約
とりあえず、フーリエ級数とフーリエ係数はバッチリってことだね。
まだだ。
え゛
前回までやったフーリエ級数、フーリエ係数にはとある制約が掛かっている。
制約？
波形の周期が\(-\pi\sim\pi\)の\(2\pi\)の範囲と言う制約だな。
この制約は、三角関数の直交性を得る上での制約なる。
特に偶関数であるcos関数などは、\(2\pi\)の周期じゃないと、積分した結果が0とならず、
直交性が得られない場合が発生してしまう。
フーリエ係数の式を見てもその制約が垣間見える。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_n&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx\\
\displaystyle b_n&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx\\
\displaystyle a_0&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
\end{eqnarray}
\)
なるほど・・・。
この制約はなんとなく使い勝手がわるそうなイメージがある・・・。
結局どうしたら良いのか？
制約があるのはわかったけど、
これって何か対策とかあるの？
フーリエ級数の中の角周波数を調整して、周期を任意の幅にするというのが一般的だな。
何言ってるのかわからん・・・。
図にするとこのイメージだな。
単純に伸縮するって感じかな？
その認識で問題無い。
問題はどうすれば伸縮できるのかってところだな・・・。
そこは次回解説しよう。
まとめ
まとめだよ。
- 前回までのフーリエ級数、フーリエ係数には周期2πという制約がある。
- 三角関数の直交性を得るための制約。
- 周期を変えるには、周期の伸縮を考えると解決できるかも？
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