【入門】フーリエ係数①【数値計算】

MATLAB、Python、Scilab、Julia比較ページはこちら
https://www.simulationroom999.com/blog/comparison-of-matlab-python-scilab/

はじめに
【再掲】フーリエ係数に至る道
前回までに求めた三角関数の直交性を示す公式
ベクトルの成分を抽出する理屈
次のページへ

はじめに

の、

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較第5章その37【フーリエ係数①】
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較第5章その38【フーリエ係数②】

を書き直したもの。

フーリエ係数に至る道。
今回からフーリエ係数の話に突入。
三角関数の直交性を利用した成分抽出の話になる。

【再掲】フーリエ係数に至る道

まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。

偶関数
奇関数
関数の内積
三角関数の加法定理
三角関数の積和公式
重要な極限値
三角関数の直交性
フーリエ係数

今回からフーリエ係数の話に突入する。

前回までに求めた三角関数の直交性を示す公式

フーリエ係数を求めるうえで重要なのが、
前回までに求めた三角関数の直交性を示す公式達になる。

この式になる。

\(
\begin{eqnarray}
&&\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\cos(nx)dx=0\\
&&\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx=
\cases{
\pi\dots \text{if } n=m\\
0\dots\text{if } n\neq m
}\\
&&\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx=
\cases{
\pi\dots \text{if } n=m\\
0\dots\text{if } n\neq m
}
\end{eqnarray}
\)

この公式により、\(\sin,\cos\)が直交していることの証明と
\(\sin\cdot\sin\)、\(\cos\cdot\cos\)、の解が\(0\)か\(\pi\)になることが証明された状態となる。

ベクトルの成分を抽出する理屈

フーリエ係数を求める上で、ベクトルからの成分抽出というのが重要な考え方となる。

例えば、\((a,b)\)というベクトルがあり、
これの成分である\(a,b\)をそれぞれ抽出するにはどうすれば良いか。

答えとしては、基本ベクトルとの内積を求めればOKという話となる。

基本ベクトルは、\((1,0)\)、\((0,1)\)みたいなもの。
試しに図も交えながら、\(a,b\)が抽出されるイメージをとらえてみよう。

\(
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
a&b
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\0
\end{bmatrix}=a\\
\begin{bmatrix}
a&b
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0\\1
\end{bmatrix}=b
\end{eqnarray}
\)

というわけで\(a,b\)が抽出できる。

この感覚を別の軸且つ多変量な空間に対して行うのがフーリエ係数を求めるためのベクトルの内積となる。