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はじめに
フーリエ係数に至る道。
フーリエ係数を求める式の一般化のまとめ。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回はフーリエ係数の話の続き。
フーリエ係数を求める式の一般化のまとめをやる。
フーリエ係数を求めるための一般化した式達
結局、一般化した式は以下3つだね。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle a_n&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx\\
\displaystyle b_n&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx\\
\displaystyle a_0&=&\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
\end{eqnarray}
\)
そうそう。
これらを使用して、フーリエ係数を求めるからちゃんと覚えておこう。
a0が1/2されていた理由
ここで、フーリエ級数で\(a_0\)が1/2されていた理由を説明しておこう。
そういえば、なぜか1/2にされていたよね。
以前は、何かしら理由があるけど、あとで説明みたいにお茶を濁されたけど。
(お茶を濁したつもりはないのだが・・・。)
仮に、フーリエ級数の\(a_0\)が1/2されていない場合、
\(a_0\)を求める式は以下になるな。
\(
\displaystyle a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
\)
他の係数を求める式は\(\displaystyle\frac{1}{\pi}\)になってるのに、
\(a_0\)だけが\(\displaystyle\frac{1}{2\pi}\)になるのか・・・。
まぁ、それでも求められるから、別になんでも構わないのだけど、
式が切り揃っていないというのも気持ち悪いから1/2している。
って感じだな。
気持ち悪いから1/2というのも変な感じだな・・・。
実際は\(a_0\)を平均値として扱いたいからなどの理由はあるな。
\(0\sim\pi\)であれば、\(\pi\)で割れば平均値なのだが、
\(-\pi\sim\pi\)の定積分の都合\(2\pi\)で割らないと平均値にならない。
だったら、最初から1/2しとこうってことだな。
1/2しても役割は特に変わらないから、使いやすい数値にするために、数式を弄るということはよくあることだ。
まぁ、覚えやすい形の方が良いもんね。
まとめ
まとめだよ。
- フーリエ係数を求める一般化された式のまとめ。
- a0が1/2されている理由を説明。
- 見栄えが悪いとか、平均値として扱いたいからなど理由はある。
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