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はじめに
フーリエ係数に至る道。
フーリエ係数を求める式の一般化について。
今回はsin成分とa0
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回はフーリエ係数の話の続き。
フーリエ係数を求める式の一般化について。
今回はsin成分とa0
フーリエ係数を求める式の一般化(sin関数)
前回は、フーリエ係数の\(a_n\)を求める式の一般化だったね。
今回は、\(b_n\)の方になるな。
やり方は\(a_n\)の時とほぼ一緒だ。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)\cdot\sin(nx)&=&\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))\cdot\sin(nx)\\
\displaystyle &=&\frac{a_0}{2}\cdot\sin(nx)+\dots+{\color{red}b_n\sin(nx)\cdot\sin(nx)}+\dots\\
&=&b_n\sin(nx)\cdot\sin(nx)\\
&=&b_n\pi\\
\displaystyle\therefore b_n&=&\frac{f(x)\cdot\sin(nx)}{\pi}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx
\end{eqnarray}
\)
そうか。
\(b_n\)の方は、cos関数じゃなくてsin関数を使えば良いのか。
最終的な式もcosがsinになった程度でほぼ一緒だね。
a0を求める
ついでに\(a_0\)を求める式も導出しよう。
あれ？
\(a_n\)の方はやったから\(a_0\)も求められるんじゃない？
まぁ、それでも求められなくはないのだが、ここでは\(a_0\)を特別扱いしておいた方が良い。
以下の感じで求める。
\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(x)\cdot 1&=&\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))\cdot 1\\
\displaystyle &=&{\color{red}\frac{a_0}{2}\cdot 1}+a_1\cdot\cos(x)\cdot 1+\dots\\
\displaystyle &=&\frac{a_0}{2}\cdot 1=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}dx=\frac{a_0}{2}2\pi=a_0\pi\\
\displaystyle\therefore a_0&=&\frac{f(x)\cdot 1}{\pi}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx
\end{eqnarray}
\)
1で畳み込みをするってどういう状況だ？？？
常に1の関数との畳み込みだな。
まぁ、定積分に於いては矩形波をイメージすると認識しやすいかな。
それで、\(-\pi\sim\pi\)で定積分すると\(2\pi\)になるのか。
そうそう。
まとめ
まとめだよ。
- フーリエ係数のbnを求める式の一般化。
- ついでにa0を求める式も一般化。
- 常に1のような定数関数は畳み込み積分に於いては矩形波をイメージすると認識しやすい。
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