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はじめに
フーリエ係数に至る道。
今回からフーリエ係数の話に突入。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回からフーリエ係数の話に突入する。
前回までに求めた三角関数の直交性を示す公式
フーリエ係数を求めるうえで重要なのが、
前回までに求めた三角関数の直交性を示す公式達になる。
確か、こんな式だよね。
\(
\begin{eqnarray}
&&\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\cos(nx)dx=0\\
&&\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx=
\cases{
\pi\dots \text{if } n=m\\
0\dots\text{if } n\neq m
}\\
&&\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx=
\cases{
\pi\dots \text{if } n=m\\
0\dots\text{if } n\neq m
}
\end{eqnarray}
\)
そうそう。
この公式により、\(\sin,\cos\)が直交していることの証明と
\(\sin\cdot\sin\)、\(\cos\cdot\cos\)、の解が\(0\)か\(\pi\)になることが証明された状態となる。
ベクトルの成分を抽出する理屈
フーリエ係数を求める上で、ベクトルからの成分抽出というのが重要な考え方となる。
成分抽出？
例えば、\((a,b)\)というベクトルがあり、
これの成分である\(a,b\)をそれぞれ抽出するにはどうすれば良いか。
いやー、見たまんまで\(a,b\)があるってことしか思いつかん・・・。
それを演算として求めるにはどうするかってことなんだが・・・。
まぁ、答えとしては、基本ベクトルとの内積を求めればOKという話となる。
基本ベクトル？
\((1,0)\)、\((0,1)\)みたいなものだな。
試しに図も交えながら、\(a,b\)が抽出されるイメージをとらえてみよう。
\(
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}
a&b
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\0
\end{bmatrix}=a\\
\begin{bmatrix}
a&b
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0\\1
\end{bmatrix}=b
\end{eqnarray}
\)
あ、なるほど。
確かに\(a,b\)が抽出できる。
この感覚を別の軸且つ多変量な空間に対して行うのがフーリエ係数を求めるためのベクトルの内積となる。
(何言ってるのか全く分からねぇ・・・。)
まとめ
まとめだよ。
- 前回までに求めた三角関数の直交性を示す公式を再確認。
- ベクトルの内積によるベクトル成分抽出のイメージを説明。
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