【入門】三角関数の直交性①【数値計算】

はじめに

の、

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較第5章その26【三角関数の直交性①】
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較第5章その27【三角関数の直交性②】

を書き直したもの。

フーリエ係数に至る道。
今回は三角関数の直交性について説明。

まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。

今回は三角関数の直交性について説明する。

今回から三角関数の直交性の話になるが、
割とボリュームがある。

直交性については、Wikipediaから引用してみよう。

初等幾何学における直交（ちょっこう、英: orthogonal）は、「垂直に交わる」こと、すなわちユークリッド空間内の交わる二つの直線や平面のなす角が直角であることを意味する。
Wikipedia(https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4)

わかるような、わからんような説明である。

結局のところ、名前の通り。
2つのベクトルが直角に交わってる状態を指す。

で、その直交性ってのが何に役立つかが問題となる。
これは内積との兼ね合いで重要になる概念。

2つのベクトルが直交している場合、それらのベクトルの内積は必ず0になる。
理由を知るために、内積をなす角で求める式を見てみよう。

\(
|a||b|\cos(\theta)
\)

ポイントはcos関数。
\(\cos(90^\circ)=0\)
つまり、内積の結果は必ず0になる。
これはcos関数の影響がすべてとなる。

あとは、成分表記ベクトルで考えると
最もシンプルな直交したベクトルは\((0, 1)\)と\((1, 0)\)になる。
絵で示すと一目瞭然だろう。

確かに直角で交わってる。

そして、成分表記の内積を計算してみよう。

\(
\begin{bmatrix}
0&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\0
\end{bmatrix}=0
\)

当然ではあるが、結果は0になるね。

これ以外にも直交するベクトルはあるが、
まずは直交しているベクトルの内積は0になることを覚えておこう。

次のページでは「内積と畳み込み積分」の関係性について。