【入門】重要な極限値【数値計算】

MATLAB、Python、Scilab、Julia比較ページはこちら
https://www.simulationroom999.com/blog/comparison-of-matlab-python-scilab/

はじめに
【再掲】フーリエ係数に至る道
重要な極限値とは？
円に接する三角形と扇形に着目する
次のページへ

はじめに

の、

MATLAB,Python,Scilab,Julia比較第5章その23【重要な極限値①】
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較第5章その24【重要な極限値②】
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較第5章その25【重要な極限値③】

を書き直したもの。

フーリエ係数に至る道。
今回は重要な極限値について説明。

【再掲】フーリエ係数に至る道

まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。

偶関数
奇関数
関数の内積
三角関数の加法定理
三角関数の積和公式
重要な極限値
三角関数の直交性
フーリエ係数

今回は重要な極限値の説明になる。

重要な極限値とは？

重要な極限値だが、
以下の極限値のことを指している。

\(
\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}
\)

\(x\)を限りなく\(0\)に近づけた場合の\(\sin(x)/x\)ってことだが、
\(sin(0)=0\)のため、\(0/0\)になって本来であれば不定値になるパターン。

単純に0を代入するとそうなるのだが、
そこで極限値であることが重要になってくる。

つまり、いきなり0を代入するのではないく、徐々に0に近づけていくと、
何かしらの値に収束することが期待できる。

円に接する三角形と扇形に着目する

これを解くには縁に接する三角形と扇形に着目する必要がある。
絵に描くとこのようになる。

絵にされても意味わからんかもしれないが、
確かに、この絵と先ほどの関数の直接的な関係性はない。

各図形の面積に着目すると以下の不等式が成立する。

\(
{\color{orange}三角形OAB}<{\color{green}扇形OAB}<{\color{blue}三角形OBC}
\)

成立するのは先ほどの絵を見るとわかるだろう。

さらに、それぞての面積を求める。
半径1の円に接しているので、底辺が1になっているのがポイント。

\(
\begin{eqnarray}
\displaystyle{\color{orange}三角形OAB}&=&底辺\times高さ\div2=\frac{1}{2}\sin(x)\\
\displaystyle{\color{green}扇形OAB}&=&\pi r^2\frac{x}{2\pi}=\frac{1}{2}x\\
\displaystyle{\color{blue}三角形OBC}&=&底辺\times高さ\div2=\frac{1}{2}\tan(x)
\end{eqnarray}
\)

一見すると面積とか求められない気もするが、
冷静にみれば、面積を求めるための情報は揃っている。

あとは、これらを利用して数式を変形していく。