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はじめに
フーリエ係数に至る道。
今回は三角関数cos同士の直交性についての説明の続き。
n=mの時について考える。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
【再掲】フーリエ係数に至る道
まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。
- 偶関数
- 奇関数
- 関数の内積
- 三角関数の加法定理
- 三角関数の積和公式
- 重要な極限値
- 三角関数の直交性
- フーリエ係数
今回は三角関数cos同士の直交性についての説明の続きになる。
n=mの時について考える。
【再掲】前回の定積分の結果
前回は、最終的に以下のようになった。
\(
\displaystyle\cos(mx)\cdot\cos(nx)=\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx=0
\)
つまり、cos関数同士は直交している。
これも、m=nの場合が問題となる。
でも、式の感じからすると、sin関数の時とアプローチは一緒になるのかな？
そうだね。
m+nが分母の方の式は\(\sin(\alpha x)=0\)であるので消える。
よって気にしなくてよい。
m-nが分母になっているところが、解無しになるので解決する必要がある。
そこで重要な極限値ってを利用する感じだね。
【再掲】重要な極限値
重要な極限値はこれだね。
\(
\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=0
\)
そうそう。
これも\(x\)を\((m-n)\)として計算する。
結果としてはsin関数の時と全く一緒になるな。
\(
\begin{eqnarray}
&&\displaystyle\lim_{(m-n)\to 0}\frac{\sin\{(m-n)\pi\}}{m-n}\\
&=&\displaystyle\lim_{\alpha\to 0}\frac{\sin(\alpha\pi)}{\alpha}\pi\\
&=&1\cdot\pi\\
&=&\pi
\end{eqnarray}
\)
よって、答えは\(\pi\)
0ではないけど、\(\pi\)になるってことだね。
ここらへんの性格はsinもcosも一緒ってことか。
これらから言えることは、sinもcosも同一の角周波数であれば
\(\pi\)として抽出できることと、
異なる角周波数であれば、0として抑制でいるという性格ということだな。
まとめ
まとめだよ。
- m=nの時のcos関数の内積を求める。
- 分母が0になるため、極限値を利用する。
- 結果としてはπになる。
- つまり、同じ角周波数のcos同士の内積は必ずπになる。
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