MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第5章 その22【三角関数積和公式②】

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はじめに
登場人物
【再掲】フーリエ係数に至る道
【再掲】三角関数の加法定理達
sinとsinの積和公式
積和公式の変形
まとめ

はじめに

フーリエ係数に至る道。
今回は三角関数の積和公式の話の続き。
フーリエ係数に向けての変形も。

登場人物

博識フクロウのフクさん

イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1

エンジニア歴8年の太郎くん

イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1

【再掲】フーリエ係数に至る道

太郎くん

まずは、フーリエ係数に至る道を再掲。

偶関数
奇関数
関数の内積
三角関数の加法定理
三角関数の積和公式
重要な極限値
三角関数の直交性
フーリエ係数

フクさん

今回は三角関数の積和公式の続きになる。

【再掲】三角関数の加法定理達

太郎くん

一応、加法定理も再掲。

$\begin{array}{rcl} \sin (α + β) & = & \sin (α) \cos (β) + \cos (α) \sin (β) \\ \sin (α - β) & = & \sin (α) \cos (β) - \cos (α) \sin (β) \\ \cos (α + β) & = & \cos (α) \cos (β) + \sin (α) \sin (β) \\ \cos (α - β) & = & \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β) \end{array}$

sinとsinの積和公式

フクさん

最後の積和公式はsinとsinの積だ。
以下で導出する。

$\begin{array}{rcl} \cos (α + β) - \cos (α - β) & = & - 2 \sin (α) \sin (β) \\ \sin (α) \sin (β) & = & \frac{\cos (α - β) - \cos (α + β)}{2} \end{array}$

太郎くん

cosの加法定理の引き算で求められるのか。

積和公式の変形

フクさん

これで必要な積和公式がそろった。

太郎くん

じゃー、今回はここまで・・・。

フクさん

ちょい待ち！

太郎くん

(なんか嫌な予感する・・・。)

フクさん

フーリエ係数に話を繋がげるためにもう一段変形が必要だ。

太郎くん

なにをすれば良いの？

フクさん

$α, β$ を $α x, β x$ にするだけ。

太郎くん

それって大変なの？

フクさん

いんや。
普通に代入して最適化するだけだな。
まず、導出した積和公式を並べよう。

$\begin{array}{rcl} \sin (α) \cos (β) & = & \frac{\sin (α + β) + \sin (α - β)}{2} \\ \cos (α) \cos (β) & = & \frac{\cos (α + β) + \cos (α - β)}{2} \\ \sin (α) \sin (β) & = & \frac{\cos (α - β) - \cos (α + β)}{2} \end{array}$

フクさん

あとは、 $α, β$ を $α x, β x$ にして、xを分解

$\begin{array}{rcl} \sin (α x) \cos (β x) & = & \frac{\sin {(α + β) x} + \sin {(α - β) x}}{2} \\ \cos (α x) \cos (β x) & = & \frac{\cos {(α + β) x} + \cos {(α - β) x}}{2} \\ \sin (α x) \sin (β x) & = & \frac{\cos {(α - β) x} - \cos {(α + β) x}}{2} \end{array}$