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はじめに
の、
MATLAB,Python,Scilab,Julia比較 第2章 その43【二次形式の微分⑦】
を書き直したもの。
正規方程式を導出するまでの説明。
今回は二次形式の微分(勾配)を実際の多項式に適用したものをJuliaで算出＆プロットしてみる。
ロードマップ＆数式【再掲】
まずは恒例のロードマップと数式を再掲。
二次形式の多項式
\(
f(x,y)=3x^2+2y^2+5xy
\)
二次形式の多項式の偏導関数
\(
\displaystyle\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=6x+5y
\)
\(
\displaystyle\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=4y+5x
\)
二次形式の行列形式の偏導関数
\(
\nabla f(x,y) =
\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \\
\displaystyle\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}
\end{bmatrix}=
2AX=2
\begin{bmatrix}
3 & 5/2 \\
5/2 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\)
今回はJuliaで算出してみる。
Juliaコード
Juliaコードは以下になる。
using PyPlot
function meshgrid(xin,yin)
nx=length(xin)
ny=length(yin)
xout=zeros(ny,nx)
yout=zeros(ny,nx)
for jx=1:nx
for ix=1:ny
xout[ix,jx]=xin[jx]
yout[ix,jx]=yin[ix]
end
end
return (x=xout, y=yout)
end
a=3;
b=2;
c=5;
A=[a c/2; c/2 b];
N=6;
ax=range(0,10,length=N);
ay=range(0,10,length=N);
x,y=meshgrid(ax,ay);
fig, (ax1, ax2, ax3, ax4) = plt.subplots(2, 2,
figsize=(8, 8),
subplot_kw=Dict("projection" => "3d"))
polyY1=6*x+5*y;
polyY2=5*x+4*y;
ax1.plot_wireframe(x, y, polyY1);
ax2.plot_wireframe(x, y, polyY2);
X=[x[:]';y[:]'];
Y=2*A*X;
matY1=reshape(Y[1,:],N,N);
matY2=reshape(Y[2,:],N,N);
ax3.plot_wireframe(x, y, matY1);
ax4.plot_wireframe(x, y, matY2);
plt.tight_layout()
plt.show()
polyY1
polyY2
matY1
matY2処理結果
そして処理結果。
julia> polyY1
6×6 Matrix{Float64}:
0.0 12.0 24.0 36.0 48.0 60.0
10.0 22.0 34.0 46.0 58.0 70.0
20.0 32.0 44.0 56.0 68.0 80.0
30.0 42.0 54.0 66.0 78.0 90.0
40.0 52.0 64.0 76.0 88.0 100.0
50.0 62.0 74.0 86.0 98.0 110.0
julia> polyY2
6×6 Matrix{Float64}:
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0
8.0 18.0 28.0 38.0 48.0 58.0
16.0 26.0 36.0 46.0 56.0 66.0
24.0 34.0 44.0 54.0 64.0 74.0
32.0 42.0 52.0 62.0 72.0 82.0
40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0
julia> matY1
6×6 Matrix{Float64}:
0.0 12.0 24.0 36.0 48.0 60.0
10.0 22.0 34.0 46.0 58.0 70.0
20.0 32.0 44.0 56.0 68.0 80.0
30.0 42.0 54.0 66.0 78.0 90.0
40.0 52.0 64.0 76.0 88.0 100.0
50.0 62.0 74.0 86.0 98.0 110.0
julia> matY2
6×6 Matrix{Float64}:
0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0
8.0 18.0 28.0 38.0 48.0 58.0
16.0 26.0 36.0 46.0 56.0 66.0
24.0 34.0 44.0 54.0 64.0 74.0
32.0 42.0 52.0 62.0 72.0 82.0
40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0考察
これも結果としてはMATLABと同じく完全一致。
コード自体は演算部分はMATLABと同一。
グラフ表示がPyPlot経由のMatplotlibの仕様になっているという差がある程度。
あとは、meshgrid関数がJuliaには存在しないので、自作関数を入れ込んでいてる。
まとめ
- 二次形式の多項式としての偏導関数、行列形式による偏導関数を元にJuliaで算出及びプロット。
- ともに同一の算出結果とプロットが得られた。
- コードの差は演算部分はmeshgridを自作、グラフ表示がPyPlot経由Matplotlibの仕様になってる程度。
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