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はじめに
正規方程式を導出するまでの説明。
今回は二次形式の微分(勾配)を実際の多項式に適用してみる。
登場人物
博識フクロウのフクさん
イラストACにて公開の「kino_k」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=iKciwKA9&area=1
エンジニア歴8年の太郎くん
イラストACにて公開の「しのみ」さんのイラストを使用しています。
https://www.ac-illust.com/main/profile.php?id=uCKphAW2&area=1
ロードマップ【再掲】
まずはロードマップの再掲で現在位置の確認。
二次形式の微分のところだね。
今回は、具体的な多項式に対して、二次形式の微分を求める。
使用する多項式は以下としよう。
\(
f(x,y)=3x^2+2y^2+5xy
\)
∇による偏導関数
まずは\(\nabla\)による偏導関数。
\(
\nabla f(x,y)=
\begin{bmatrix}
\displaystyle\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\\
\displaystyle\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
6x+5y\\
5x+4y
\end{bmatrix}
\)
上記を元に以下が成立すればOK
\(
2AX=
\begin{bmatrix}
6x+5y\\
5x+4y
\end{bmatrix}
\)
普通に手計算
あとは、これを各ツール、各言語で確認するって感じか。
そうだね。
と言っても、実は手計算でも確認できちゃうけどね。
\(
A=
\begin{bmatrix}
3 & 5/2\\
5/2 & 2
\end{bmatrix}
\)
\(
2AX=
2
\begin{bmatrix}
3 & 5/2\\
5/2 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
6x+5y\\
5x+4y
\end{bmatrix}
\)
つまり、ツールで計算させるまでもない！！
まぁ、ここはツールに慣れることを、目的とした作業になるかもね。
まとめ
まとめだよ。
- 具体的な二次形式の多項式に対して微分。
- ∇による微分結果確認。
- 二次形式の微分の公式による結果確認。
- ツールで計算させるまでもないが、一応やっておく。
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