2024-08

sinとcosの内積と畳み込み積分を考える。 奇関数、偶関数の特性より、sin、cosの畳み込み積分は0となる。 畳み込み積分が0ということは内積も0になる。 内積が0ということは直交しているということになる。

直交性とは2つのベクトルが垂直に交わることを指す。 直交しているベクトルの内積は必ず0になる。 cos関数の影響。 成分表記の内積でも0になることを確認。

はさみうちの原理について説明。 sinc関数について説明＆MATLABでプロットしてみた。(Pythonコードも)

円に接する三角形と扇形の面積の不等式を最適化。 いろいろ弄っていくと、はさみうちの原理により1が求められる。

重要な極限値について説明。 sin(x)/xのxを0に近づける極限値。 まずは円に接する三角形と扇形に着目する。 これが先ほどの極限値にどうつながるかは次回。

sin,sinの積和公式を導出。 積和公式をフーリエ係数に向けて変形。 α,βをαx,βxにするだけ。

三角関数の加法定理の組み合わせで積和公式が導出できる。 sin,cosの積和公式とcos,cosの積和公式を導出してみた。

三角関数の加法定理を確認。 偶関数、奇関数を利用すると、βにマイナス符号が付いた加法定理の式も導出できる。

前回までの数式パズルの力業的解法と関数の内積はほぼ同一の考え方。 関数を無限次元ベクトルを解釈すると、関数の内積は関数の積の定積分として表現される。